Новости

Статьи


Моделирования роботов и транспортных средств

 

 

Для построения моделирующих программных комплексов, а также для расчета регуляторов для приводов мобильных роботов (МР), а также прочих колесных и гусеничных транспортных средств (ТС), требуются их динамических модели. Ограничимся ТС с приводами на основе двигателей постоянного тока.

Большинство существующих математических моделей, описывающих динамику МР и ТС, предполагают наличие таких исходных данных, как масса, момент инерции, силы трения и т.п. Однако на практике эти исходные данные получить весьма сложно. В ряде случаев, даже фактическая масса ТС может оказаться неизвестной, не говоря уже о его моменте инерции.

Поэтому для построения динамических моделей МР и ТС предлагается использовать методы, более приближенные к реальности. Эти методы предполагают с уже существующего ТС снять ряд переходных характеристик, на основе которых оценить все параметры его динамической модели

 

Модель движения транспортного средства в пространстве

Прежде, чем говорить о динамической модели, следует составить кинематическую модель МР или ТС. Для простоты повествования рассмотрим гусеничное шасси, имея в виду, что для колесного шасси все расчеты останутся справедливы (Рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 1 Геометрическая модель мобильного робота или транспортной тележки на гусеничном шасси

 

Обозначим мгновенную линейную скорость левой гусеницы через vлев, а правой vпр. Эффективное расстояние между гусеницами W. Для простоты, эффективным расстоянием будет считаться расстояние между центрами гусениц. Пусть ТС находится на плоскости в координатах X,Y. Мгновенное значение азимутального угла направления движения обозначим через a. Положительное направление поворота по азимуту будем считать поворот от оси OY к оси OX. Направлению a=0 будет соответствовать направление вдоль мировой оси OY.

Тогда, мгновенная линейная скорость ТС (vлин) будет:

,

а мгновенная вращательная скорость ТС (w):

Положение ТС в пространстве определяется следующей системой уравнений:

Или в разностных уравнениях, более привычных программистам:

        (1)

Здесь под оператором ¬подразумевается оператор присвоения, а Dtтакт моделирования системы, желательно его сделать постоянным.

Связь между скоростью вращения вала ведущего колеса и линейной скоростью движения робота, а также силами Fнагр.лев и Fнагр.пр , действующими на ТС и моментом Mнагр.лев.кол и Mнагр.пр.кол , действующим в колесе ТС,  осуществляется по формулам:

Где: wлев.кол и wпр.кол – вращательная скорость вала левого и правого колеса соответственно (в радианах в секунду), rкол – эффективный радиус ведущего колеса.

В ТС и МР между двигателем и валом ведущего колеса обычно используют редуктор. Коэффициент редукции обозначим через i. Редуктор понижает скорость вращения в i раз и повышает момент в i раз.

Тогда:

    (2)

Здесь wлев и wпр – вращательная скорость вала двигателя  левого и правого колеса соответственно (в радианах в секунду), Mнагр.лев и Mнагр.прмомент нагрузки, приведенный к валу двигателя для левого и правого привода соответственно.

 

Режим поворота или взаимное влияние приводов ТС

 Отметим два основных режима движения ТС: линейное движение, поворот на месте. При линейном движении скорости гусениц (приводных колес) ТС совпадают, как по направлению, так и по модулю, а при повороте на месте они по модулю равны, но имеют разные направления (знаки).

Особое внимание следует отвести режиму поворота ТС. Здесь, многие авторы упускают из вида дополнительную силу трения, возникающую из-за того, что колесам или гусеницам приходится совершать при повороте поступательные движения в направлении, перпендикулярном оси движения ТС (Рис. 2). На рисунке видно, что, например, при повороте на месте, колесо ТС движется по дуге с центром в центре масс ТС (обозначенная как точка C). При таком  движении полная скорость колеса vполн состоит как из линейной скорости vпр, возникающей в результате качения колеса, так и поступательной скорости vпоступ, направленной перпендикулярно курсовой оси ТС. При таком поступательном перемещении возникает сила трения скольжения, в несколько раз превышающая силу трения качения колеса. При линейном движении ТС данной силы трения не возникает.

Заметим, что чем шире колесная база (W) по отношению к расстоянию между колесными осями (H), тем меньше сила трения поступательного движения колеса, и наоборот. Отметим, что как только эффективное значение силы трения скольжения колеса в поперечном направлении сравняется с силой сцепления колеса с грунтом в продольном направлении, то колесо начнет проскальзывать, и поворот ТС не получится вовсе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 2 Иллюстрация причин возникновения дополнительной силы трения при повороте ТС

 

 

Поэтому все колесные и гусеничные машины должны быть широкими и недлинными.

Независимо от конструкции, возникновение дополнительной силы трения при повороте ТС (т.е. когда скорости левого и правого двигателя различны) неизбежно. Эффект возникновения данной силы трения автор данной работы называет «взаимное влияние приводов».

 

Динамическая модель приводов ТС

Анализировать динамику ТС проще, если рассматривать модели ведущих приводов ТС. При этом необходимо все привести все силы и моменты инерции привести к валу ведущих электродвигателей.

Динамическая модель электропривода в терминах теории автоматического управления приведена на Рис. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 3 Структура динамической модели электропривода постоянного тока

 

 

 

На рисунке Uвходное напряжение двигателя. Мн – номинальный момент двигателя, Uн – номинальное напряжение двигателя, Jэффективный момент инерции механической системы, связанной с валом двигателя, wвыходная скорость вала двигателя, Mнагр. – действующее мгновенное значение момента нагрузки, приведенного к валу двигателя, Mтр.действ – действующее мгновенное значение момента трения, приведенного к валу двигателя, sоператор Лапласа. ТЭ – электрическая постоянная времени электропривода.

Составим передаточную функцию двигателя со входом U и выходом w:

 

Заменим величину  значением механической постоянной времени TМ:

                       (3)

 

Электрическая постоянная времени ТЭ определяется отношением индуктивности обмотки якоря (Lя) к сопротивлению обмотки якоря (Rя):

Однако в ряде случаев сопротивление и индуктивность обмотки двигателя померить невозможно. В этом случае полагают, что электрическая постоянная времени на порядок меньше, чем механическая (TМ.х.х.) на холостом ходу двигателя. Для большинства двигателей это справедливо:

 

 

Действующее значение момента трения Mтр.действ не следует путать с максимальной величиной силы трения. Знак величины Mтр.действ совпадает со знаком скорости w электропривода, а по модулю он не превышает своего максимального значения.

Динамическая модель ТС или МР

Следует отметить, что на практике, практически все параметры модели электропривода, являются неизвестными, и измерить их напрямую невозможно. Например, невозможно померить момент инерции ТС, силы трения и т.п. Поэтому предлагается снять переходные процессы с ТС в различных режимах и на их основе вычислить все необходимые параметры модели.

Как уже отмечалось, имеется два основных режима движения ТС: линейное движение и поворот на месте. В общем случае эти два режима будут отличаться действующими моментами трения (из-за взаимного влияния приводов) и моментами инерции (при линейном движении на инерцию влияет масса ТС, а при повороте ­– момент инерции корпуса ТС). Будем считать, что переход между режимами осуществляется по линейному закону.

Снятие переходных характеристик

На валы колес или валы двигателей ТС и МР обычно устанавливают инкрементный датчик (encoder), который подчитывает количество меток и тем самым определяют угол поворота колеса. Дифференцируя этот угол, можно получить скорость двигателя.

Обычно, для снятия переходных характеристик для управляющего микропроцессора МР или ТС разрабатывается специальное программное обеспечение, которое подает на двигатели постоянное управляющее напряжение и снимает показания с датчиков. Показания датчиков записываются в память микропроцессора, а затем передаются на обрабатывающую ЭВМ, где стоятся необходимые графики.

 

Для снятия переходных характеристик для режима линейного движения подадим на двигатели левого и правого колеса одинаковое постоянное управляющее напряжение и снимем график переходного процесса для одного из колес (Рис. 4).

Аналогично снимем переходной процесс для режима поворота на месте. Для этого на двигатели подадим то же самое управляющее напряжение, но с разными знаками (Рис. 4).

Дополнительно снимем переходной процесс с ТС на холостом ходу. Для этого по возможности подвесим ТС в воздухе так, чтобы оно колесами не касалось пола. Эксперимент необходим для определения скорости холостого хода двигателя wх.х. Если подвесить ТС нет возможности, то скорость холостого хода следует определить по паспортным данным электродвигателя (при пересчете их в показания датчика).

Если ТС или МР при максимальном значении напряжения перемещается достаточно быстро, то имеет смысл снимать переходные характеристики при более низком значении напряжения. Для съемки переходных характеристик желательно обеспечить лабораторные условия: ровный гладкий пол, отсутствие подъемов и спусков. Для графиков необходимы лишь первые несколько секунд работы двигателей (обычно 5-7 сек), после чего напряжение с двигателей можно снимать.

 


Рис. 4 Графики переходные процессов, снятых с ТС в различных режимах

 

Анализ графиков переходных процессов

После снятия переходных характеристик необходимо по графику переходного процесса определить установившееся значение скорости (wх.х., wлин и wпов для режима холостого хода, линейного движения и поворота на месте соответственно), а также время регулирования (tрег.лин и tрег.пов для режима линейного движения и поворота на месте соответственно). Время регулирования следует определять по уровню 1% от установившегося значения (т.е. следует определить время, при котором график переходного процесса попал в диапазон 1% от установившегося значения).

Снятые величины wх.х., wлин, wпов, tрег.лин и tрег.пов будут являться исходными данными для построения модели ТС.

Несложно догадаться, что различия установившегося значения скоростей в различных режимах объяснятся различной нагрузкой (моментом трения), действующей на вал двигателя в этих режимах. Глядя на модель электропривода (Рис. 3), несложно заметить, что воздействующий на двигатель момент нагрузки (Mнагр) прямо пропорционален величине снижения скорости электропривода.

Зная это, можно составить пропорцию и определить из нее максимальные значения моментов трения, действующих на двигатель в двух его основных режимах:

В данных формулах присутствует неизвестная величина Mн (номинальный момент двигателя). В принципе, данную величину можно определить по паспортным данным на двигатель постоянного тока. Если величина не известна, то не стоит отчаиваться, т.к. данная величина в дальнейших расчетах сократиться.

Определим значение моментов инерции в двух основных режимах движения ТС. Известно, что апериодический переходный процесс (а двигатель постоянного тока имеет переходный процесс достаточно похожий на апериодический с постоянной времени, равной TМ ­– механической постоянной времени) заканчивается (по уровню 1%) при времени равном пяти постоянным времени. Исходя из этого, определим постоянные времени переходного процесса по снятым переходным характеристикам:

По формуле (3) рассчитаем момент инерции вала двигателя для двух рассматриваемых режимов:

 

Будем считать, что переход между режимами осуществляется по линейному закону в зависимости от разности скоростей двигателей:

Моделирование ТС в разностных уравнениях

Составим модель ТС в разностных уравнениях. Рассматриваем один такт работы алгоритма расчета:

 

1. Выбор параметров модели в зависимости от режима движения ТС.

2. Расчет момента полезной нагрузки. Полезная нагрузка для ТС возникает только при движении по наклонной поверхности.

Допустим, что ТС находится на поверхности, нормаль к которой в мировой системе координат равна N=(Nx,Ny,Nz). Повернем нормаль на азимутальный угол ориентации ТС и получим проекцию Ny2 нормали на курсовую ось ТС:

Тогда силы гравитации будут действовать на ТС массой m с силой Fнагр.:

Согласно формуле (2), момент нагрузки на валу двигателей будет:

 

3. Моделируем левый электропривод при подаче на вход Uлев:

 

                   расчет разности вх. напряжения и противоЭДС

      электрическая апериодика

 

4. Расчет влияния момента трения. При моделировании воздействия момента трения в разностных уравнениях при малых по модулю значениях скорости  w  возникает проблема формирования такого действующего значения момента трения, которое бы не привело к смене знака скорости. Т.е., если скорость  w  большая и положительная, то действующее значение момента трения равняется максимальному значению момента трения, в результате чего, скорость снижается. Когда скорость w  большая и отрицательная, то действующее значение момента трения равняется максимальному значению момента трения со знаком «минус», в результате чего скорость по модулю уменьшается. Однако, когда скорость w  мала и положительна, то действующий момент трения должен приводить к остановке вращения, а не к смене знака скорости.

Чтобы оценить граничное значение действующего момента трения, рассчитаем величину M’, равную текущему вращательному моменту на валу двигателя, но не включающего силу трения:

Если бы на вал двигателя действовал момент M’, то скорость w двигателя после данного шага интегрирования стала бы равной:

Мы же хотим, чтобы после интегрирования w было бы не меньше нуля:

Откуда:

Обозначим граничное значение момента трения через Mтр.гр.:

Тогда рассчитаем действующее значение момента трения по следующему алгоритму:

 

 

 

5. Интегрирование момента:

6. Повторяем пункты 3-5 для правого двигателя.

7. По зависимостям (2) и (1) находим положение ТС в пространстве:

 

 

Дизайн ООО "ДинСофт"